Sam Raskin, un matemático y profesor en la Universidad de Yale, ha alcanzado un logro monumental en el campo de las matemáticas al resolver, junto a un equipo de expertos, una parte crucial de las Conjeturas de Langlands, un problema considerado una verdadera “piedra Rosetta” para el estudio matemático.

Este trabajo, en colaboración con Dennis Gaitsgory y otros siete matemáticos, ha resultado en la demostración de un componente geométrico de estas conjeturas, un avance que ha sido catalogado como un hito fundamental para la comprensión matemática de conexiones profundas entre diversas áreas que, por mucho tiempo, se pensaron desconectadas.

La investigación abarca cinco estudios académicos, sumando más de 900 páginas que, tras décadas de esfuerzo colectivo, concluyen en esta demostración de las Conjeturas de Langlands en su vertiente geométrica.

Para entender la magnitud de este trabajo, es esencial conocer en qué consiste la propuesta de Robert Langlands, un matemático canadiense que planteó en los años 60 la posibilidad de que existan conexiones ocultas y complejas entre la teoría de números, el análisis armónico y la geometría. Estas tres áreas, tradicionalmente independientes, podrían encontrar un lenguaje común que las permita traducirse mutuamente, tal como si fueran diferentes idiomas.

The Geometric Langlands Conjecture
Sam Raskin. Crédito: Dan Renzetti / Yale University

Probar esta hipótesis representaría un cambio profundo en la manera en que entendemos ciertas estructuras matemáticas, pues abriría las puertas a nuevas formas de resolver problemas que hasta ahora han permanecido enigmáticos. Langlands, en esencia, propuso un marco teórico en el que las estructuras aparentemente inconexas de la matemática puedan relacionarse a través de simetrías profundas y patrones.

La parte geométrica de esta conjetura es la que Raskin y su equipo han resuelto. Este avance, conocido como la solución del “Langlands geométrico”, representa un avance monumental no solo para la matemática pura sino también para otras ciencias como la física teórica. Los físicos han demostrado interés en este trabajo porque uno de los elementos clave de Langlands es un grupo de simetría geométrica que podría ayudar a entender fenómenos naturales, como las interacciones entre electricidad y magnetismo.

Raskin, cuya visión de la matemática se basa en la idea de descubrir elementos de la naturaleza a través de estructuras abstractas, comentó que ve su trabajo como una exploración continua en un universo matemático que no deja de sorprender por su complejidad y profundidad.

El proceso que llevó a la solución final comenzó a tomar forma en 2020, cuando Raskin, entonces profesor en la Universidad de Texas en Austin, colaboró en un estudio que abordaba el análisis armónico de las Conjeturas de Langlands, un concepto que permite descomponer funciones en “ondas” más simples. Este análisis sentó las bases para la vertiente geométrica del proyecto, y en 2022, Raskin y uno de sus estudiantes ampliaron estos hallazgos para aplicarlos al Langlands geométrico. Resolver esta parte del problema requirió superar desafíos matemáticos complejos, como abordar las “representaciones irreducibles”, un concepto en teoría de la representación.

Finalmente, este año, el equipo concluyó su trabajo en cinco estudios detallados, consolidando así una solución general para todas las estructuras grupales involucradas en el Langlands geométrico. Raskin se mostró satisfecho al afirmar que lograron una demostración robusta y verificable. Como él mismo señaló, en matemáticas, existe el privilegio de decir con certeza que algo es verdadero o falso; y en este caso, pueden afirmar que toda la intuición y las teorías previas han sido confirmadas.

Este logro de Sam Raskin y su equipo marca un antes y un después en el campo de las matemáticas, no solo por resolver un problema teórico de larga data, sino también por las implicaciones futuras de su trabajo. La solución del Langlands geométrico podría abrir nuevas avenidas en el entendimiento de fenómenos físicos y en la creación de herramientas matemáticas para resolver problemas aún no abordados.

FUENTES

Yale University

D. Arinkin, D. Beraldo, J. Campbell, L. Chen, J. Faergeman, D. Gaitsgory, K. Lin, S. Raskin and N. Rozenblyum, Proof of the Geometric Langlands Conjecture.

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