Cuando Arquímedes calculó el número de granos de arena necesarios para llenar el Universo

Según Arquímedes, el famoso matemático griego que nació y vivió en la ciudad siciliana de Siracusa entre 287 y 212 a.C., el número de granos de arena necesarios para llenar el Universo es 1063, o lo que es lo mismo:

1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 de granos de arena.

Esa es la cantidad exacta reflejada por Arquímedes en su obra El contador de arena (en griego Ψαμμίτης, Psammites), un tratado escrito para Gelón II, rey de Siracusa, que está considerado como una de las primeras publicaciones científicas conocidas.

En él comienza diciendo Arquímedes que algunos piensan que la arena no puede contarse, y otros que aunque así fuera no se podría encontrar ninguna expresión aritmética para el número. Se propone demostrar que efectivamente ambas cosas son posibles.

Arquímedes, cuadro de José de Ribera, 1630 / foto dominio público – Museo del Prado

Existen algunos, Rey Gelón, que creen que el número de granos de arena es infinito en multitud; y cuando me refiero a la arena me refiero no sólo a la que existe en Siracusa y el resto de Sicilia sino también la que se puede encontrar en cualquier región, ya sea habitada o deshabitada. Una vez más, hay algunos que, sin considerarlo como infinito, creen que ningún número ha sido nombrado que sea lo suficientemente grande como para superar tal magnitud. Y, está claro que, los que sostienen esta opinión, si se imaginaron una masa formada por arena tan grande como la masa de la Tierra, incluyendo todos los mares y los huecos de la Tierra hasta llenarlos a una altura igual a la de la más alta de las montañas, sería ir mucho más lejos aún del reconocimiento de que cualquier número que pueda expresarlo fue superado por la multitud de arena para tomar. Pero voy a tratar de mostrar, por medio de demostraciones geométricas que usted será capaz de seguir que, de los números nombrados por mí y, teniendo en cuenta el trabajo que he enviado a Zeuxipo, algunos superan no sólo el número de la masa de arena de igual magnitud que la Tierra llenada en la manera descrita, sino también la de la masa de igual magnitud que la del Universo

Arquímedes, El contador de arena

Para poder llegar a esa cifra Arquímedes tuvo que seguir una serie de pasos:

1. Inventar una forma de nombrar números más grandes que una miríada de miríadas

En primer lugar tuvo que inventar un sistema para nombrar números extremadamente grandes. Hasta entonces el mayor número que se podía expresar gráficamente era la miríada (μυριάς), que equivalía a 10.000, y a partir de ahí solo se podía llegar hasta una miríada de miríadas, que equivalía a 108.

Arquímedes denominó a los números hasta 108 como números de primer orden. A los múltiplos de ese número, hasta llegar de nuevo a la miríada de miríadas (108 x 108, es decir 1016), los denominó de segundo orden. Y a los múltiplos de este último, números de tercer orden. Siguió así sucesivamente hasta que llegó a los números del orden una miríada de miríadas*.

El número más alto que Arquímedes consiguió nombrar fue 108 x 1016, o lo que es lo mismo: un 1 seguido por 80.000 billones de ceros. Algo realmente notable teniendo en cuenta que los griegos usaban las letras de su alfabeto para representar los números.

Inscripción con números en Éfeso / foto Roymail en Wikimedia Commons

2. Calcular el tamaño del Universo

Como ya tenía definidos los enormes números que iba a necesitar, era el momento de pasar a la segunda tarea, calcular el tamaño del Universo. Para ello se valió del modelo heliocéntrico propuesto por Aristarco de Samos, en el cual la Tierra orbitaba alrededor del Sol y las estrellas permanecían inmóviles alrededor.

Del tratado de Aristarco, que por desgracia no ha llegado hasta nuestros días más que en breves menciones como la de Arquímedes, se deduce que pensaba que el Universo era esférico, y que el diámetro de su esfera guardaba proporción con el de la órbita terrestre alrededor del Sol.

Un manuscrito con la obra de Aristarco de Samos | foto dominio público en Wikimedia Commons

Como Aristarco no había dejado escrito a qué distancia de la Tierra estaban las estrellas (que estaban fijas en la esfera del Universo), Arquímedes supuso que el Universo descrito por el matemático de Samos era esférico. También que el diámetro de este Universo en relación al diámetro de la órbita de la Tierra alrededor del Sol era proporcional a la relación existente entre esta órbita terrestre y el propio diámetro de la Tierra. Basándose en esto Arquímedes calculó que el diámetro de la órbita de la Tierra era de unos 3 millones de estadios (500.000 kilómetros).

Aristarco había calculado que el diámetro del Sol era entre 18 y 20 veces el diámetro de la Luna. Arquímedes, para no quedarse corto, supuso que el diámetro del Sol no era mayor de 30 veces el de la Luna, y que su diámetro angular, visto desde la Tierra, es mayor que 1/200 de un ángulo recto.

Con todo esto Arquímedes llegó a la conclusión de que el diámetro del Universo era de unos 1014 estadios (aproximadamente 2 años luz).

3. Calcular el número de granos de arena que caben en el Universo

Ahora que ya sabía el tamaño del Universo solo quedaba ver cuantos granos de arena caben en él. Para ello calculó que 40 semillas (de amapola u otra planta similar) colocadas una al lado de la otra equivalían a un dáctilo griego (el ancho de un dedo, unos 19 milímetros de longitud). Una esfera de un dáctilo de diámetro contendría, por tanto, 64.000 semillas.

La Vía Láctea | foto tawanlubfah en depositphotos.com

Luego dedujo que cada una de esas semillas podía contener 10.000 (una miríada) granos de arena. Por tanto, en una esfera de un dáctilo de diámetro cabrían 64.000 x 10.000 (640 millones) de granos de arena. Para facilitar los cálculos posteriores redondeó esa cifra a 1.000 millones.

Calculó que un estadio griego tenía una longitud de 600 pies griegos, y que cada pie medía 16 dáctilos. Por tanto, había 9.600 dáctilos en un estadio, cifra que redondeó a 10.000 (una miríada). El cubo de 10.000 es un billón (1012), y multiplicándolo por el número de granos de arena que hay en una esfera de un dáctilo de diámetro (1.000 millones), da como resultado 1021 granos de arena en una esfera de un estadio de diámetro.

Como ya había calculado que el diámetro del Universo era de 1014 estadios, concluyó que en él habría (1014)3 (o 1042) esferas de un estadio de diámetro. Multiplicando 1021 (granos de arena en una esfera de un estadio de diámetro) por 1042 da como resultado el número de granos de arena que caben en el Universo: 1063, tal y como decíamos al comienzo del artículo.

Estatua de Arquímedes en Berlín, por Gerhard Thieme | foto SpreeTom en Wikimedia Commons

Y ¿para qué querría Arquímedes saber cuántos granos de arena caben en el Universo? No se había vuelto loco, ni mucho menos. En realidad el cálculo de los granos de arena y del tamaño del Universo no era más que un ejemplo que le sirvió para demostrar cómo calcular con los números extremadamente grandes a los que acababa de poner nombre. Cálculos que anteriormente se pensaba eran imposibles de realizar.

Por ello en todos los cálculos realizó aproximaciones, redondeó cifras y siempre advirtió, a lo largo del tratado, que el número resultante superaría al número real de granos de arena.

Hoy en día sabemos que el Universo es mucho más grande de lo que Arquímedes había sospechado. ¿Cuántos granos de arena cabrán en él?


Fuentes

Arquímedes, El contador de arena (en inglés) | Thomas Little Heath, The Sand-Reckoner of Archimedes | James Gow, A Short History of Greek Mathematics | Timothy Ferris, Coming of Age in the Milky Way | Wikipedia