Revelan los orígenes de la geometría aplicada en una tablilla de arcilla de 3.700 años de antigüedad

Si.427 muestra la subdivisión de un campo en Sippar, actual Irak, hacia 1900-1600 BC / foto UNSW Sydney

La tablilla -conocida como Si.427- fue descubierta a finales del siglo XIX en lo que hoy es el centro de Irak, pero su importancia era desconocida hasta que el trabajo detectivesco de un científico de la Universidad de Nueva Gales del Sur (UNSW) la ha revelado.

Lo más emocionante es que se cree que Si.427 es el ejemplo más antiguo de geometría aplicada que se conoce, y en el estudio publicado en la revista Foundations of Science la investigación también revela una convincente historia humana de topografía.

Si.427 data del período de la Antigua Babilonia (1900 a 1600 a.C.), afirma el Dr. Daniel Mansfield, investigador principal de la Facultad de Matemáticas y Estadística de la UNSW. Es el único ejemplo conocido de un documento catastral del periodo antiguo babilonio, que es un plano utilizado por los topógrafos para definir los límites de la tierra. En este caso, nos informa de los detalles legales y geométricos de un campo dividido tras la venta de una parte del mismo.

En el reverso de la tablilla vemos un texto escrito en cuneiforme, uno de los primeros sistemas de escritura.  El texto se corresponde con el diagrama del anverso, que describe el tamaño del campo / foto UNSW Sydney

Se trata de un objeto significativo porque el agrimensor utiliza lo que hoy se conoce como triples pitagóricos para hacer ángulos rectos precisos. El descubrimiento y el análisis de la tablilla tienen importantes implicaciones para la historia de las matemáticas, afirma el doctor Mansfield. Por ejemplo, esto es más de mil años antes de que naciera Pitágoras.

En 2017, el doctor Mansfield conjeturó que otro fascinante artefacto de la misma época, conocido como Plimpton 322, era un tipo único de tabla trigonométrica. En general, se acepta que la trigonometría -la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los triángulos- fue desarrollada por los antiguos griegos que estudiaban el cielo nocturno en el siglo II antes de Cristo, dice el Dr. Mansfield. Pero los babilonios desarrollaron su propia ‘proto-trigonometría’ para resolver problemas de medición del suelo, no del cielo.

Se cree que la tablilla Si.427 es más antigua incluso que Plimpton 322; de hecho, los problemas de topografía probablemente inspiraron a Plimpton 322. Hay todo un conjunto de triángulos rectos con diferentes formas. Pero sólo un puñado muy pequeño puede ser utilizado por los topógrafos babilónicos. Plimpton 322 es un estudio sistemático de este conjunto para descubrir las formas útiles, dice el Dr. Mansfield.   

Ya en 2017, el equipo especuló sobre la finalidad de Plimpton 322, planteando la hipótesis de que era probable que tuviera alguna finalidad práctica, posiblemente en la construcción de palacios y templos, la construcción de canales o la topografía de los campos. Con esta nueva tablilla, podemos ver por primera vez por qué se interesaban por la geometría: para establecer límites precisos de las tierras, afirma el Dr. Mansfield.

El topógrafo consiguió ser tan preciso utilizando los triples pitagóricos, haciendo que las líneas fronterizas que creó fueran realmente perpendiculares / foto UNSW Sydney

Se trata de un periodo en el que la tierra empieza a ser privada: la gente empezó a pensar en la tierra en términos de ‘mi tierra y tu tierra’, queriendo establecer un límite adecuado para tener relaciones de vecindad positivas. Y esto es lo que dice inmediatamente esta tablilla. Es un campo que se divide, y se establecen nuevos límites.

Incluso hay pistas ocultas en otras tablillas de esa época sobre las historias que hay detrás de estos límites. Otra tablilla se refiere a una disputa entre Sin-bel-apli -un individuo prominente mencionado en muchas tablillas, incluida la Si.427- y una rica terrateniente, dice el Dr. Mansfield.

La disputa es por unas valiosas palmeras datileras en el límite entre sus dos propiedades. El administrador local acepta enviar a un topógrafo para resolver la disputa. Es fácil ver cómo la precisión era importante para resolver las disputas entre individuos tan poderosos. El Dr. Mansfield dice que la forma en que se hacen estos límites revela una verdadera comprensión geométrica. Nadie esperaba que los babilonios utilizaran los triples pitagóricos de esta manera, se trata de algo más parecido a las matemáticas puras, inspirado en los problemas prácticos de la época

Una forma sencilla de hacer un ángulo recto exacto es hacer un rectángulo con lados 3 y 4, y diagonal 5. Estos números especiales forman el triple pitagórico 3-4-5 y un rectángulo con estas medidas tiene ángulos rectos matemáticamente perfectos. Esto es importante para los topógrafos de la antigüedad y todavía se utiliza hoy en día. Los antiguos topógrafos que hicieron el Si.427 hicieron algo aún mejor: utilizaron una variedad de diferentes triples pitagóricos, tanto en forma de rectángulos como de triángulos rectos, para construir ángulos rectos precisos, dice Mansfield.

Sin embargo, es difícil trabajar con números primos mayores de 5 en el sistema numérico babilónico de base 60. Esto plantea un problema muy particular: su sistema numérico único de base 60 significa que sólo se pueden utilizar algunas formas pitagóricas, parece que el autor de Plimpton 322 recorrió todas estas formas pitagóricas para encontrar estas útiles. Esta comprensión profunda y altamente numérica del uso práctico de los rectángulos se gana el nombre de ‘proto-trigonometría’, pero es completamente diferente a nuestra trigonometría moderna.

Si.427 es un objeto significativo porque el topógrafo aplica la geometría de los triángulos rectos para hacer límites perpendiculares. El descubrimiento y el análisis de la tablilla tienen importantes implicaciones para la historia de las matemáticas / foto UNSW Sydney

El Dr. Mansfield se enteró de la existencia de la tablilla Si.427 al leer sobre ella en los registros de las excavaciones: la tablilla fue desenterrada durante la expedición de Sippar de 1894, en lo que hoy es la provincia de Bagdad, en Irak. El informe decía que la pieza había ido a parar al Museo Imperial de Constantinopla, un lugar que obviamente ya no existe.

A partir de esa información, emprendí una búsqueda para localizarla, hablando con muchas personas en los ministerios y museos del gobierno turco, hasta que un día, a mediados de 2018, una foto de la Si.427 aterrizó finalmente en mi bandeja de entrada. Fue entonces cuando me enteré de que en realidad estaba expuesta en el museo. Incluso después de localizar el objeto, todavía tardé meses en comprender plenamente lo significativo que es, por lo que es realmente satisfactorio poder finalmente compartir esa historia.

Ahora el Dr. Mansfield espera encontrar qué otras aplicaciones tenían los babilonios para su proto-trigonometría. Sólo queda un misterio que el Dr. Mansfield no ha desvelado: en el reverso de la tablilla, en la parte inferior, aparecen los números «25,29» en letra grande, es decir, 25 minutos y 29 segundos. No puedo entender qué significan estos números – es un absoluto enigma. Estoy deseando discutir cualquier pista con historiadores o matemáticos que puedan tener una corazonada sobre lo que estos números tratan de decirnos.    


Fuentes

Isabelle Dubach – Universidad de Nueva Gales del Sur / Daniel F. Mansfield, Plimpton 322: A Study of Rectangles, Foundations of Science (2021). DOI: 10.1007/s10699-021-09806-0