El número de Graham, tan grande que su representación ordinaria no cabría en el universo observable

Números / foto Balaz5 – Shutterstock

¿Cuál es el número más grande que se puede imaginar? Seguro que más de un lector parafraseará a Han Solo pensando que puede imaginarse mucho. Pero sea cual sea la cantidad que digan, seguro que ni se acerca a lo que representa el llamado número de Graham; tanto así que resulta imposible escribirlo en términos convencionales y hay que recurrir a la notación científica, exponencial, e incluso de esa forma es bastante complicado. Ronald Graham, su formulador, consiguió con ello algo que probablemente no pensaba: entrar en el Libro Guinness de los Récords.

Todos los que en el lejano 1980 vimos Cosmos, la serie documental de Carl Sagan, recordamos lo fascinados que nos dejaron, entre otras mil cosas, el gúgol y el gúgolplex, de los que nunca habíamos oído hablar antes. El primero es un número ideado en 1938 por el matemático Edward Kasner (aunque el peculiar nombre no se lo puso él sino su pequeño sobrino), concebido para dejar patente la diferencia entre un número colosalmente grande y el infinito; equivale a 10 elevado a 100 o, lo que es lo mismo: 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.

Carl Sagan en el capítulo de Cosmos en que usaba un rollo de papel para escribir un gúgol

Luego añadió el gúgolplex, que es un uno seguido de un gúgol de ceros, y el gúgolduplex, un uno seguido de un gúgolplex de ceros. Se trata de cifras tan enormes que en realidad no tienen aplicación práctica en matemáticas. Para hacernos una idea, una calculadora normal se queda por debajo del gúgol en capacidad de representación y, como explicaba Sagan, en todo el Universo no cabría un papel lo suficientemente grande para escribir todos los ceros de un gúgolplex. Google no eligió ese nombre para su empresa por casualidad.

Con el gúgolplex la cosa se agrava porque, por ejemplo, el número de combinaciones posibles para combinar los átomos es aproximadamente de 10 elevado a 10 elevado a 70, lo que significa que en un universo que tuviera las dimensiones de un gúgolplex empezaría a haber repeticiones; eso sí, hay que admitir que a muchos de nosotros nos resultaría divertido encontrar a nuestro doble físico exacto.

Edward Kasner en 1907/Imagen: dominio público en Wikimedia Commons

Puestos a fantasear, si es que la mente nos da para tanto, podríamos continuar con el gúgolduplex o incluso con los siguientes de la secuencia, gúgoltriplex, gúgolcuadruplex, etc; al fin y al cabo se supone que puede haber tantos como queramos. Pero no es necesario porque para eso llegó a este mundo en 1935 un bebé que fue bautizado como Ronald Graham. Para ser exactos, lo hizo en la localidad estadounidense de Taft, un pequeño pueblo californiano de poco más de nueve mil habitantes que en aquella época eran muchos menos.

Graham estudió Matemáticas en la célebre Universidad de Berkeley, donde obtuvo el doctorado en 1962. Dedico su vida profesional a la investigación en tecnología, primero en los Bell Labs (hoy pertenecientes a Nokia) y después en los AT&T Research Labs, en los que permaneció treinta y siete años, hasta su jubilación en 1999, llegando a ser director de ciencias de la información. Sin embargo, no fue exactamente su trabajo lo que le dio la fama sino un artículo que publicó en 1977 sobre la Teoría de Ramsey.

Ronald Graham en 1986/Imagen: Peter Vidor en Wikimedia Commons

Ésta toma su nombre del matemático y filósofo inglés que la enunció, Frank Plumpton Ramsey, uno de esos cerebros privilegiados y precoces, capaz de aprender alemán en una semana con un diccionario y una gramática sólo para poder leer el Tractatus logico-philosophicus de Wittgenstein en su lengua original o de ser nombrado profesor del prestigioso King’s College de la Universidad de Cambridge con apenas veintiún años. Una enfermedad renal acabó con su vida tan prematuramente como su desarrollo intelectual, a los veintiséis, pero tuvo tiempo de dejarnos la teoría en cuestión.

La formuló en un artículo titulado On a problem of formal logic (Sobre un problema de lógica formal) que publicó en 1928 en la revista de la London Mathematical Society y se basa, en síntesis, en considerar que el desorden completo es imposible. Dentro de un sistema suficientemente grande, a pesar del desorden debe haber cierto orden; por tanto, hay que estudiar bajo qué condiciones se presenta dicho orden.

Frank P. Ramsey/Imagen: Volsav en Wikimedia Commons

La Teoría de Ramsey entra, pues, en el campo de la combinatoria, una rama de las matemáticas discretas (las que estudian los conjuntos discretos, es decir, finitos o infinitos numerables) que se centra en las propiedades de ordenaciones o agrupaciones de un determinado número de elementos bajo ciertas condiciones establecidas. Una de las cuestiones que planteaba era la necesidad de determinar un número grande que sirviera de límite máximo para facilitar la solución.

Obviamente, no se refería a números grandes cotidianos sino a cifras mucho mayores que requirieran notación científica. Cuando Ramsey escribió su artículo, Edward Kasner todavía no había inventado el gúgol pero en 1977 Ronald Graham le dio una vuelta de tuerca a todo ello con su propuesta. Quizá la cosa no hubiera trascendido tanto si no hubiera intervenido Martin Gardner, un famoso filósofo y divulgador de temas de ciencia al estilo Isaac Asimov, de los que los que defendían la necesidad de dar a ésta un carácter popular, acercándola al gran público.

Martin Gardner/Imagen: Konrad Jacobs, Erlangen, en Wikimedia Commons

Gardner daba ejemplo practicando ilusionismo (curiosamente, Graham hacía juegos malabares) y militaba en la matemática recreativa, la que se aplica con fines lúdicos (por ejemplo, el Cubo de Rubik, los sudokus o el ajedrez mismo). Pero, sobre todo, publicaba una columna mensual de ese tono en la revista Scientific American, bajo el epígrafe Mathematical Games (Juegos matemáticos). En el ejemplar de noviembre de 1977 escribió una referencia a algo en lo que llevaba un tiempo trabajando junto a Graham:

«In an unpublished proof, Graham has recently established … a bound so vast that it holds the record for the largest number ever used in a serious mathematical proof.» (que traducido dice «En una demostración no publicada, Graham ha establecido recientemente (…) una cota tan vasta que tiene el registro de ser el mayor número jamás usado en una demostración matemática seria»)

Aquella cota era tan extraordinaria que llamó la atención de la gente porque superaba a todos los números grandes formulados hasta entonces, como el ideado por el matemático sudafricano Stanley Skewes o la notación Steinhaus–Moser, que de por sí ya eran mayores que el gúgolplex. Todos con una cantidad de dígitos imposible de representar gráficamente aún cuando cada uno ocupara una de las unidades de Planck, que son los espacios más pequeños medibles, apodados a veces unidades de Dios porque se sitúan más allá de las medidas humanas.

El número de Graham expresado mediante notación flecha de Knuth, en la que G es igual a g elevada a 64

De hecho, el número de Graham ni siquiera puede representarse como una potencia (o sea, equis elevado a …) ni aún a torres de exponentes o tetraciones (exponenciaciones itineradas, o sea, un número elevado a sí mismo varias veces), por lo que es necesario recurrir a fórmulas de un tipo de notación denominada flecha de Knuth. Con ellas ha sido posible calcular las últimas cifras del número de Graham, ya que deben tener ciertas propiedades comunes a las torres de dicho tipo. En su totalidad es imposible escribirlo, porque el universo observable es tan pequeño que no cabría en él, pero, por si alguien tiene curiosidad, los quinientos dígitos finales son:

…02425950695064738395657479136519351798334535362521430035401260267716226721604198106522631693551887803881448314065252616878509555264605107117200099709291249544378887496062882911725063001303622934916080254594614945788714278323508292421020918258967535604308699380168924988926809951016905591995119502788717830837018340236474548882222161573228010132974509273445945043433009010969280253527518332898844615089404248265018193851562535796399618993967905496638003222348723967018485186439059104575627262464195387

Decíamos al comienzo que en 1980 el Libro Guinness de los Récords inscribió el número de Graham como el más grande, aunque, como suele pasar, no tardó en ser superado por otros; es el caso de los relacionados con las variadas formas finitas que hizo el matemático estadounidense William Friedman del TREE (igualmente conocido como árbol teorema de Kruskal, por el matemático que lo demostró, el también estadounidense Joseph Kruskal, basándose en una idea del húngaro Andrew Vázsonyi). Plus ultra.

Fuentes: Mathematical games (Martin Gardner en Scientific American)/Cosmos (Carl Sagan)/Wonders of numbers. Adventures in mathematics, mind, and meaning (Clifford A. Pickover)/How big is big and how small is small. The sizes of everything and why (Timothy Paul Smith)/On a problem of formal logic (Frank P. Ramsey)/Wikipedia