El hotel de infinitas habitaciones con infinitos huéspedes donde siempre hay sitio para más

Georg Cantor fue un matemático alemán nacido en San Petersburgo en 1845, que inventó con Dedekind y Frege la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas.

Sus investigaciones sobre los conjuntos infinitos le llevaron a comprobar la existencia de diferentes infinitos, algunos mayores que otros. Por ejemplo, el conjunto de los números racionales es del mismo tamaño que el de los naturales. Sin embargo el conjunto de números reales no lo es.

No os preocupéis si no entendéis esto. Cantor mismo fue internado repetidas veces en hospitales psiquiátricos, víctima de las paradojas que suscitaba su teoría, además de ser acusado por los sectores religiosos de blasfemia. Al final él mismo terminó escribiendo artículos religiosos sobre el tema.

Para profundizar podéis leer sobre los números transfinitos: «Cantor se percató de que era posible hablar de la cantidad de elementos de un conjunto infinito tal y como se habla de la cantidad de elementos de un conjunto finito.

Es decir, encontró que era posible “medir” el tamaño de un conjunto infinito y, de hecho, comparar el tamaño de dos conjuntos infinitos para encontrar que el de uno era “mayor” que el del otro, y elaboró una teoría hasta cierto punto rigurosa respecto de estas ideas: la teoría de números transfinitos.»

Para poder ilustrar esta teoría se crearon varias construcciones abstractas, que explican de forma simple e intuitiva los hechos paradójicos relacionados con el concepto matemático de infinito y los números transfinitos de Cantor. Una de ellas, quizá la más famosa, es la inventada por el matemático alemán David Hilbert, y se llama precisamente El Hotel Infinito de Hilbert.

En el video que acompaña este post podéis ver una representación gráfica y humorística de El Hotel Infinito de Hilbert. En Wikipedia tenéis la paradoja transcrita literalmente.

Estando el hotel lleno de infinitos huéspedes, llegó un representante de una agencia de viajes, su problema era que tenía una excursión de infinitos turistas que necesitarían hospedarse esa noche en el hotel. Se trataba, por lo tanto, de hacer sitio a infinitos huéspedes en un hotel con infinitas habitaciones, todas ellas ocupadas en aquellos momentos. Pero el recepcionista no tuvo ningún problema en aceptar a los nuevos turistas. Cogió el micrófono y pidió a todos los huéspedes que se mudaran a la habitación correspondiente al resultado de multiplicar por 2 el número de su habitación actual. De esa forma todos los huéspedes se mudaron a una habitación par, y todas las habitaciones impares quedaron libres. Como hay infinitos números impares, los infinitos turistas pudieron alojarse sin más problema.

Así vemos cómo en un supuesto hotel con habitaciones infinitas, donde están alojados infinitos huéspedes, siempre queda sitio para infinitos huéspedes más que puedan llegar.